作者： 陳昭宏
義守大學 電子工程系
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學習目標、弦波訊號基本定義、Fourier representations、Fourier轉換與連續頻譜、時域與頻域之關係、Impulse and transforms in the limit |
第三節 Fourier representations for four
class of signals
一、 Periodic Signal à
Fourier Series (FS)
二、 三角富利葉級數(Trigonometric
Fourier series)
三、 誤差方均值(均方誤差值) MSE
of Representation
五、 線性非時變系統之特徵函數(Eigenfunction
of LTI system)
第五節 時域與頻域之關係(Time and
Frequency relations)
四、 頻率轉移與調變
(Frequency Translation and Modulation).
六、 微分與積分(Differentiation
and Integration)
第六節 Impulse and transforms in the limit
一、 脈衝性質(Properties
of the unit impulses)
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• 畫出或標示多弦波訊號之線頻譜。
• 計算計算簡單訊號之平均、功率、總功率與能量。
• 寫出訊號之Fourier級數與轉換之表示式。
• 由時域辨識訊號之性質或由頻域辨識訊號之性質。
• 畫出或標示方波列、單一方波與sinc脈波。
• 說明與應用Parseval’s power theorem、Rayleigh’s energy theorem。
• 描述Fourier轉換之定理：time delay, scale change, …
• 應用Fourier轉換之定理計算訊號之頻譜。
• 瞭解與應用摺積定理(convolution)
• 說明impulses
• 計算含(impulses, steps, sinusoids, rectangular)之頻譜。
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¨ 上列訊號將以一時間(週期)重覆。
Euler’s theorem
¨ Euler’s 公式
¨ 任何弦波函數可用下列方式表示為相量(Phasor)
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¨ 每一單一頻率之弦波訊號可以表示為相量(phasor)。
¤ 每一頻率之可由相量畫出其頻譜或相譜。
¨ 任意週期訊號可表示為Fourier series，運算獲得對應之頻譜，稱線頻譜(line spectral)。
表示為線頻譜之規則
¨ 以頻率f表示。
¨ 相角對應於cosine函數。
¨ 振幅為正數。
¨ 相位。
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¨ 週期訊號，有下列關係
¤ 訊號平均值
¤ 週期訊號平均值
¤ 平均功率
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¨ 弦波訊號
¨ 平均值
¨ 平均功率
¨ 任意離散之週期訊號週期為N, x[n]=x[n+N], 可表示如下, DTFS:
¨ 任意連續之週期訊號週期為T, x(t)=x(t+T), 可表示如下, FS:
諧波(harmonics)
¨ 所有頻率皆為主頻率(fundamental frequency)之整數倍n，稱n次諧波(harmonics)。各分量大小如下：
¤ DC分量：
¤ 若為實數訊號
¨ 常計算如下運算
¨ 定義Sinc函數
¨ Sinc函數波形
¨ 誤差方均值(均方誤差值) ：為估測值與原訊號之差量比較函數，可用於判斷兩訊號之相同程度。
非週期訊號(nonperiodic signal) àFourier transform (FT)
¨ 任何非週期訊號可以表示為下列近似值
問題：判斷下列訊號之分析法。
¨ 先判斷連續或離散(DT)
¨ 再判斷週期(FS)或非週期(FT)
¨ 任一運算子H, 求下列等式之解,
¨ 稱特徵問題
¨ 求岀之解
線性系統之特徵函數性質The eigenfunction Property of Linear Systems
“The action of the system on an eigenfunction input is multiplication by the corresponding eigenvalue.”
(A) general eigenfunction
eigenfunction Y(t) or Y[n] and eigenvalue l.
(B) 連續complex sinusoidal
eigenfunction ejwt and eigenvalue h(jw).
(C)離散complex sinusoidal
eigenfunction ejWn and eigenvalue h(ejW).
訊號之 eigenfunction 表示法
方波脈衝列
¨ 為週期連續訊號
¨ 週期為T0
¨ 脈衝寬為τ
Spectrum of rectangular pulse train with ƒ0t = 1/4 (a) Amplitude (b) Phase
Gibbs現象
Fourier-series reconstruction of a
rectangular pulse train(1/2)
Gibbs phenomenon at a step discontinuity
¨ 訊號之平均功率與Fourier係數之關係。
訊號能量
¨ 訊號能量
¨ 若上式存在且0<E<∞，則此訊號稱稱為非週期之能量訊號。
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¨ Fourier 轉換
¨ Inverse Fourier 轉換
V(f) 頻譜之主要性質
¨ Fourier 轉換是複數函數。
¨ V(f),f=0時V(0)等於v(t)之面積。
¨ 實數訊號v(t)
方波脈衝(Retangular Pulse)
¨ 基本方波脈衝
¨ 若
¨ 頻譜
Rectangular pulse spectrum V(ƒ) = At sinc ƒt
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¨ 訊號頻譜
其中
¨ Even symmetrical：若
¤ 稱訊號為偶對稱(Even symmetrical)
¨ Odd symmetrical ：若
¤ 稱訊號為奇對稱(Odd symmetrical)
¨ Real symmetrical：若訊號為實數
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¨ 若訊號
¤ 稱因果訊號(Causal signal)
¤ 簡言之，就是只有訊號開始後才可觀察到訊號。
¤ 代入頻譜計算
¤ 上式與Laplace transform類似。
範例：causal exponential pulse
¨ 有一因果指數衰減波形，有時間常數1/b
¤ 波形函數
¤ 波形
求頻譜？
解：causal exponential pulse
¨ 整理分母為實數
¤ 振幅
¤ 相位
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¨ Rayleigh’s Energy Theorem (energy signal)類比於Parseval’ power theorem (power signal)，說明訊號v(t)之能量
¤ 其中V(f)為訊號之能量密度頻譜(energy spectral density)。
方波之能量密度頻譜(Energy spectral density of a rectangular)
¨ 假設有一方波脈衝(寬τ)，能量密度頻譜(energy spectral density)，如下圖：
¤ 假設只取頻帶
¤ 約有90%之能量。
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¨ 若檢視所有Fourier integral pair，可發現只有一些變數與符號不同。如：
¤ 若
¤ 假 設
¤ 則
n
其中
¤ 對偶定理：簡單之概念
範例：Sinc Pulse，
¨ 重要之分析訊號
¤ 求其頻譜？
¨ 解：
¤ 方波訊號之頻譜
¤ 應用對偶性質
¤ 得
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¨ 重疊性質(Superposition)
¨ 時間延遲與刻度變更(Time Delay and Scale Change)
¨ 頻率轉移與調變(Frequency Translation and Modulation)
¨ 微分與積分(Differentiation and integration)運算
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¨
Fourier
transform 之重疊性質
¤ 若
¤ 兩訊號之線性組合，令
¤ 則
¤ 應用訊號之線性組合定理，則任意訊號之線性組合
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¨ 任何訊號
¤ 若將tàt-td，則稱為延遲td，
¤ 此延遲後之訊號與原訊號有相同之波封波形，但時間位移位置不同。
¤ 如此訊號之頻譜關係
n 若
n 振幅頻譜
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¨ 時域軸之刻度放大縮小與頻域間之關係？
¤ 時域與頻域軸放大縮小關係為倒數關係。
n 時域放大頻域縮小，時域縮小頻域放大。
¨ 證明：
範例:使用方波脈衝表示下列波形
¨ 方波脈衝
¨ 寫出下列圖形之數學表示式，並求頻譜？
解:使用方波脈衝表示下列波形
¨ 圖(a)
¤ 波形
¤ 頻譜
¤ 圖(b)
¤ 波形
¤ 頻譜
¤ 應用sinc函數之定義
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¨ 若
¨ 則稱下列運算為頻率移與調變(Frequency Translation and Modulation)。
¤ 因是乘
¤ 稱複數調變(complex modulation)，
¤ 頻譜只移至一單邊頻帶。
¨ 調變前後之頻譜，調變前(a)，調變後(b)。
¤ 振幅、相位大小皆沒變化。
¤ 由頻帶0移至中心頻fc
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¨ 實際應用調變時，無法使用複數訊號，因此，使用cos
¤ 所以若訊號為時數訊號，頻譜為Hermitian。
n 所以頻寬為原來兩倍，因為負的頻譜也進入至正頻譜。
n 實數訊號負頻譜之資訊是與正頻譜相同(為Hermitian)
範例：RF Pulse
¨ 若有如下圖之RF訊號
¤ 表示如下
¤ 求頻譜？
n
提示： 可視為將脈波訊號
解：R Pulse
¨ 應用調變定理
¤ 所以
¤ 振幅頻譜如：
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¨ 微分與積分是常應用之運算，若時域訊號微分與積分，頻譜？
¨ Differentiation theorem
¤ 所以
¤ Nth微分
¨ Integration theorem
¤ 假如
¤ 則
範例：三角脈波(Triangular
Pulse)
¨ 有三角脈波如：
¤ 求頻譜？
¤ 提示：可以使用積分定理。並求
解：三角脈波(Triangular Pulse)
¨ 計算
¨ 應用積分定理
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¨ 數學運算convolution被高度應用於通訊工程中，是一種重要工具。
¤ 應用於 「系統分析」。
¤ 應用於 「機率分佈之轉換計算」。
¨ Convolution可以被應用於時域與頻域。
¤ 時域Convolutionà頻域有何結果？
¤ 頻域Convolutionà時域有何結果？
Convolution Integral
¨ 若有兩函數，有相同之自變數t(如：時間)
¤ 則兩函數間之摺積運算定義為
n 注意定義之中之λ，可以是任何之變數符號。
n 又convolution是有交換性的所以
摺積之圖示(Graphical interpretation of convolution)
¨ 下面將進行convolution之分解圖示
¨ 中間過程函數
¤ 分段積分
Graphical interpretation of convolution
Result of the convolution
範例：Trapezoidal pulse 之convolution
¨ 若有兩函數波形如
¤ 求兩函數之convolution？
解：Trapezoidal pulse 之convoluion
¨ 中間過程函數
¨ 分段積分
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脈衝性質、脈衝之運算、Impulses in frequency、步階函數、符號函數、Impulses in Time、範例：Raised Cosine Pulse |
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¨ Impulse : 脈衝函數，可以應用於時域與頻域，當訊號為弦波訊號時，其頻譜就必需以頻域之脈衝函數表示。
¨ Transform in the limit：以極限之概念所定義之轉換，impulse function 就是一種以極限概念所定義之函數與轉換。
¤ 常用於訊號之表示，尤其是非因果之訊號。
Two functions that become impulses as e ® 0
¨ 下圖為兩種運用Transform in the limit所定義之impulse function。
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脈衝性質、脈衝之運算、Impulses in
frequency、步階函數、符號函數、Impulses in Time、範例：Raised Cosine Pulse |
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¨ Unit impulse (or Dirac delta function)為一特殊函數，定義
¤ 基本性質
¤ 取樣運算積分
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¨
延遲
¨
積分
¨
摺積
¨
相乘
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¨ 若純直流(DC)
¤ 頻譜？
¤ 可以以transforms in the limit之概念定義
n 因為fourier transform pair
¤ Wà0得
¨ 若為弦波訊號
¤ 頻譜？以frequency translation and modulation概念
¤ 應用Eulere公式
¤ Fourier series
範例說明：FM訊號之頻譜表示
¨ 如下圖為FM訊號與其頻譜
¨ 如下為FM訊號表示
¨ 頻譜
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¨ 步階函數如下圖
¨ 函數表示如
¤ 與脈衝函數之關係
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脈衝性質、脈衝之運算、Impulses in frequency、步階函數、符號函數、Impulses in Time、範例：Raised Cosine Pulse |
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¨ 符號函數如圖
¤ 函數表示如
¤ 可由下圖之極限值定義
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¤ 若τà0 ，
¤ Time impulse表示在頻域，所有頻率有相同之振幅。
¨
“An impulsive signal with zero duration has
infinite spectral width, whereas a constant signal with infinite duration gas
zero spectral width.”
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¨ 如圖：raised cosine pulse
¤ 表示式為
¤ 求頻譜？
n 提示：應用微分定理。
解：Raised Cosine Pulse
¨ 一次微分
¨ 三次微分
¨ 一次微分與三次微分之關係
¨ 一次微分與三次微之頻譜關係
¨ 整理得
¨ 化簡