作者： 陳昭宏
義守大學 電子工程系
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第三章 訊號傳輸與濾波SIGNAL TRANSMISSION AND FILTERING
第二節 線性非時變系統響應Response of LTI Systems
一、 脈衝響應與重疊積分(Impulse response and superposition Integral
)
第四節 傳輸中之訊號失真(Signal Distortion in Transmission)
一、 無失真傳輸(Distortionless Transmission)
三、 固定相位移：線性失真(Linear distortion)
八、 抑制器companding(compressing & expanding)
第五節 傳輸損失、增益與分貝(dB)(Transmission Loss、GAIN and Decibels)
五、 直視傳輸(line-of-sight propagation)
六、 範例 :衛星中繼系統(Satellite
relay system)
第六節 濾波器與濾波(Filter and Filtering)
一、
Transfer function of a ideal bandpass filter
三、 有限頻寬與有限時間(Bandlimiting and Timelimiting)
四、 典型帶通濾波器(Typical amplitude ratio of a real bandpass
filter)
第七節 正交濾波器與希伯特轉換(Quadrature Filters and Hilbert Transforms)
一、 希伯特轉換性質(Property of Hilbert Transforms)
二、 範例 Hilbert transform of a cosine Signal
三、 範例: Hilbert transform of a Rectangular Signal
第八節 相關函數與頻譜密度(Correlation and Spectral Density)
一、 功率訊號之相關性(Correlation of power Signals)
二、 能量訊號之相關性(Correlation of Energy Signals)
三、 頻譜密度函數(Spectral Density Functions)
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¨ 以脈衝(impulse)響應(response)、步階(step)響應、轉移函數(transfer function)ˇ等，描述與應用LTI系統之輸出輸入關係。
¨ 使用頻域分析系統之準確或進似輸出。
¨ 由系統方塊圖求得轉移函數。
¨ 分辨amplitude distortion、delay distortion、linear distortion and nonlinear distortion。
¨ 指出已知通道無失真傳輸之頻帶範圍，求給定頻帶之無失真傳輸所須之等化器(equalization)規格。
¨ 應用dB計算傳輸系統、電纜、放大器所需之訊號功率。
¨ 討論訊號經光纖與衛星系統傳輸所需之特性。
¨ 指出與畫出理想LPF、BPF、HPF之H(f)與h(t)
¨ 由H(f)找出實際LPF之3dB頻寬。
¨ 描述與應用脈波傳輸所需之頻寬。
¨ 定義功率訊號或能量訊號之互相關與自相關函數，並描述相關性質。
¨ 描述Wiener-Kinchine定理與頻譜密度函數(spectral density function)之性質
¨ 給定系統H(f)與輸入之相關函數或頻譜密度函數，求出輸出之相關函數或頻譜密度函數。
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¨ 系統輸出入關係
¨ 假設系統F線性非時變系統
¨ 訊號為基本訊號之線性組合
¨ 則輸出為各基本訊號輸出之線性組合
¨ 輸入延遲輸出也延遲
¨ 線性非時變系統關係可表示為下列微分方程
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¨ 系統脈衝響應
¨ 任意訊號輸入
¨ 系統之輸出
¨ 線性非時變系統之輸出入關係可表示，系統脈衝響應與輸入訊號之褶積
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¨ 步階響應
¨ 脈衝響應與步階響應之關係
¨ 系統摺積運算之微分運算
一階系統之時間響應_步階響應
¨ 一階系統
¨ 系統脈衝響應
¨ 步階響應
一階系統之時間響應_方波脈衝響應
¨ 一階系統
¨ 方波脈衝響應
¨ 脈衝寬
τ>>1/(RC)
τ~=1/(RC)
τ<<1/(RC)
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¨ 轉移函數：脈衝響應之富氏轉換
¨ 實數系統之轉移函數
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¨ 假設輸入(相量型式)
¨ 系統輸出
¨ 頻率響應
¨ 系統輸出(相量型式)
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¨ 假設輸入系統輸出(相量型式)
¨ 頻率響應
¨ 功率頻譜
¨ 能量
¨ 系統輸入、輸出響應與轉移函數關係
¨ 系統為LTI系統，轉移函數可表示如下
¨ 當訊輸入訊號為單頻訊號，則輸入輸出之時域比值為該頻率之轉移函數
¨ 當
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¨ RC電路如下圖：
¨ 若輸入為x(t)，輸出為y(t)，求此圖之轉移函數，並簡單分析系統性能。
解法：
¨ 應用節點分析，以頻域計算
¨ 定義系統頻寬
¨ 轉移函數之振幅與相位響應分別為
說明：
¨ 稱低通濾波器，頻寬(通過訊號之頻帶寬)
¨ 訊號通過此系統，若訊號頻寬W
¨ W<<B：稱非失真傳輸(undistorted transmission)
¨ W~=B：依訊號頻譜與系統轉移函數而定
¨ W>>B；稱失真(distorted)
¨ 訊號通過低通濾波器結果
¨ 圖(a) W<<B， 圖(b) W ~= B，圖(c) W>>B
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¨ 應用常見系統功能，經由並聯、串接、迴授可已組成多種多功能系統或系統分析。
¨ 並聯(parallel)：
¨ 串接(cascade)：
¨ 迴授(feedback)：
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¨ 圖為Zero-order hold之系統方塊圖，應用於類比與數位系統間訊號之轉換。與設定取樣率。其中T為訊號取樣週期時間。
範例：Zero-order hold(頻域、轉移函數)
¨ 圖計算系統之轉移函數與脈衝響應。
解：Zero-order hold
¨ 由方塊圖之架構可得
¨ 頻域應用每一系統方塊之基本定義
¨ 時域得
¨ 脈衝響應為
¨ 富氏轉換後得轉移函，
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¨ 訊號傳輸系統是由一電子通道(channel)將訊號由一資訊源傳至目的地。
¨ 傳輸過程會有失真與干擾，首先我們簡單一些失真與非失真之傳輸情形
¤ 無失真傳輸(Distortionless Transmission)
¤ 線性失真(Linear distortion)
¤ 多重路徑失真(Multipath distortion)
¤ 非線性失真(Nonlinear distortion)
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¨ 若接收訊號與原始訊號只有大小不同與時間延遲，稱無失真傳輸。
¨ 頻譜
¨ 所以轉移函數
¨ 轉移函數
¤ 無失真傳輸
¤ 振幅失真傳輸
¤ 延遲失真傳輸
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¨ 當每一訊號分量之時間延遲與訊號成線性關係則稱線性失真。
¨ 例：固定相位移
¤ tg：稱群延遲(group delay)
¤ td：稱相延遲(phase delay)
¨ Test signal x(t) = cos w0t + 1/3 cos 3w0t + 1/5 cos 5w0t
¤ Test signal with amplitude distortion (a) low frequency attenuated; (b) high frequency attenuated
a)(變小)cos w0t + 1/3 cos 3w0t + 1/5 cos 5w0t
b)cos w0t + 1/3 cos 3w0t + (變小) cos 5w0t
¤ Test signal with constant phase shift q = -90°
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¨ 假設訊號
¨ 經由固定相位移(ψ)通道
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¨ 設計一系統來補償通道之失真細現象，使接收無失真!!!
¨ 期望整體之系統轉移函數
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¨ 整體之系統轉移函數
¤ 所以
¤ 常見設計等化器之方法為使用
¤ Tapped-delay-line
¤ 或transversal
filter
¤ 如：
¨ Tapped-delay-line equalizer 或transversal filter
¤ 直接由下圖可寫
¤ 轉移函數
¤ 整理後，若有2Ｍ+1個係數
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¨ 假設有一失真通道（兩多重路徑）
¤ 求等化器？
¤ 通道轉移函數
¤ 等化器轉移函數
多重路徑失真(以TAPPED-DELAY設計)
¨ 等化器之轉移函數為
¨ 以泰勒展開近似為
¨ 取三項
¨ TAPPED-DELAY設計
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¨ 如圖為非線性系統
¨ 如：
¨ 假設輸入
¨ 系統輸出
¨ 產生多次諧波失真，下為二次諧波失真量
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¨ 如何避免系統非線性元件對調變之影響？
¤ 盡量使訊號落於線性區，因此早期電信系統常使用抑制器(companding)避免因乘積元件(crossproduct)之非線性現象，造成系統串音現象(cross talk) 。
¤ compressor：先將大訊號抑制(衰減)
¤ expandor：將大訊號還原(放大)
¤ compressing 與 expanding合稱抑制器companding
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¨ 傳輸損失或增益定義
¨ 以分貝(dB)定義
dBW & dBM
¨ 若將輸入功率以固定功率，則可定義為功率量測單位
¤ dBW：以一瓦w為比較單位，
¤ dBM：以一微瓦mw為比較單位
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¨ 以dB表示系統增益與訊號功率得
¨ 系統增益與系統轉移函數之關係
¨ dB表示系統轉移函數
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¨ 傳輸損失，在通訊系統中是設計中繼器來克服，在一段傳輸距離後設置一中繼器(放大訊號)
¨ 則最後收到之訊號功率為(假設g2與g4是為中繼器)
¨ 常見傳輸損耗
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¨ 光纖通訊是以光波為傳輸媒介。
¤ 光在介質內全反射現象，將訊號由A傳遞至B。
¤ 大部份光通訊系統為數位通訊系統，因為類比之光訊號調變與解調變不易。
¤ 數位則可透由光之on-off調變。
¨ 光之媒介à光纖，傳輸型態有
¤ 單模態(single-mode)
¤ 多模態(multi-mode，step-index)
¤ 多模態(multi-mode，graded-index)
¨ 單模態，Light propagation down a single-mode step-index fiber
¨ 多模態，Light propagation down a multimode step-index fiber
¨ 多模態， Light propagation down a multimode
graded-index fiber
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¨ 直視傳輸(line-of-sight propagation) ，一般在頻帶100MH以上之電磁波頻帶。
¨ 自由空間損耗(free-space-loss) ：以球面幅射之損耗
¤ 其中
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¨ 一般直視傳輸之損耗
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¨ Uplink frequency=6GHz、Downlink freq.=4GHz, 中繼輸出=18dBw
¤ 假設傳輸損耗為
¤ 輸入功率35dBW
¤ 求輸出功率
解：衛星中繼系統，
¨ 應用
¤ 求得uplink loss
¤ Downlink loss
¤ 中繼器輸入35dB+55dB-199.1dB+20dB=-144.1dBW
¤ 輸出功率18dB+16dB-195.6dB+51dB=-110.6dBW
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理想帶通濾波、理想濾波器、有限頻寬與有限時間、典型帶通濾波器、實際濾波器、濾波器設計方法、脈波響應與上升時間、Response of an LPF |
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¨ 通訊系統存在許多濾波器。為了將所承載之資訊由不想要之內容中取出。如：
¤ 干擾：一般指由非訊號本身之其他來源，因訊號之混合造成接收訊號之損失。
¤ 雜訊：雜訊可能是熱雜訊或其他背景雜訊，因加至訊號上導致訊號之解析能力變差。
¤ 失真：由訊號本身，被各種線性或非線性之系統響應(或通道)，造成接收訊號之變異與損失。
¨ 濾波則是應用各種訊號處理方式移除上述干擾與雜訊。
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¨ Ideal filter：指的是處理頻帶內訊號無失真(distortionless)，在其他頻帶內則為0。
¨ 下圖為 ideal bandpass filter。
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¨ 可以分為
¤ Lowpass filter：如下式
¤ Highpass filter
¤ Band-rejection filter
¤ Band-pass filter：下列表示為帶通之轉移函數與響應
¤ 其中，B稱頻帶寬
¨ Ideal lowpass filter (a) Transfer function (b) Impulse response
(a)
(b)
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¨ 若有一訊號之頻譜為
¤ 稱有限頻寬訊號
¨ 若有一訊號之時域為
¤ 稱有限時間訊號
¨ 完美之有限頻寬與有限時間訊號，皆不可能存在。
¤ 因為完美時間有限會造成無限之頻寬需求。
¤ 完美頻寬有限會造成無限之時間延展需求。
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¨ Passband：帶通帶，一般為放大倍，可能有漣漪(ripple)，由最大放大倍率K至1/2K之範圍稱3dB頻寬。如圖fH-fL。
¨ Stopband：帶止帶，輸出為0。
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¨ 由上圖可簡單假設濾波器轉移函數為
¨ 應用Butterworthj filter 設計技術
¤ 其中
¤ n為所使用之濾波器階數，代入後可得轉移函數
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¨ Butterworth：有平坦之帶通帶。
¨ Bessel、maximally linear phase：有最好之帶通帶線性相位。
¨ Equal ripple filter：有較小之轉移帶。分
¤ Chebyshev filter(I、II)
¤ Elliptic filter
¨ Butterworth、Bessel、maximally linear phase、Equal ripple filter(Chebyshev filter(I、II)、Elliptic filter)
¤ 可以應用MATLAB toolbox，了解上述濾波器功能差異。
¨ 所有濾波器設計時，
¤ 一般使用主動式(active)設計，
¤ 並為避免使用電感(空間與重量)會使用switched-capacitor filter技術。
Bode diagram for Butterworth LPF
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¨ 步階響應
¨ 一階濾波器之輸出響應
¨ 理想低通之輸出響應
¨ 定義
¨ 則理想低通之輸出響應
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Pulse response of an ideal LPF
¨ 當方波脈衝通過濾波器時，方波脈衝失真情形與濾波器頻帶寬有關。Bτ>2可通過基本形狀， Bτ<<2會造成延重失真。
Pulse resolution of an ideal LPF. B = ½t
¨ Bτ>2通過基本形狀， Bτ<<2造成失真。
¨ 因此濾波器最大之解析率定為B = ½t、t= 2B
步階響應分析(Step response of ideal and first-order LPFs)
¨ 請注意理想、一階濾波器之響應。
¤ Setup time：當輸出至0.9(穩態值)時之時間。
¤ Ripple：穩態值之漣漪量。
¤ Causal：未輸入時輸出為0。
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¨ 正交濾波器(Quadrature Filters )：全通濾波器，只正頻率分量相位移-90度、負頻率分量相位移90度
¤ 轉移函數
¤ 脈衝響應
¨ 希伯特轉換( Hilbert Transforms)：任何訊號通過正交濾波器，稱之。
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¨ 任何訊號之希伯特轉換後之振幅頻譜與其原振幅頻譜相同。
¨ 若
¨ 任何訊號訊號與希伯特轉換之訊號為正交
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¨ 訊號
¤ 求Hilbert transform ？
¨ ANS：
¤ IFTà
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¨ 訊號
¤ 求Hilbert transform ？
¨ ANS：
¤ IFTà
Hilbert transform of a rectangular pulse (a) Convolution; (b) Result
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¨ 相關函數與頻譜密度是分析訊號與系統之另一常用之方法。
¨ 相關函數(Correlation)做Fourier transform，得到頻域表示法à頻譜密度(Spectral Density)。可以用於分析訊號之功率。
¨ 頻譜密度(Spectral Density)是可應用於各種訊號之分析，即使訊號為無法Fourier transform ，例如：隨機訊號。
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¨ 假設v(t)為功率訊號，則其平均功率(average power)
¤ 時間平均定義為
¤ 有下列性質
¨
Schwarz’s inequality
¨ 證：假設
¤ 令
¤ 得證
¨ 互相關函數(crosscorrelation)
¤ 互相關量小於個別訊號功率
¤ 兩訊號之互相關與方向無關
¨ 自相關函數(autocorrelation)
¤ t=0自相關，等於平均功率
¤ t=0自相關，為最大
¤ 自相關與方向無關
¨ 假設
¤ 自相關為
¤ 若互相關函數，無關
¤ 則訊號功率關係如下：
範例：Correlation of phasors and sinusoids
¨ 定義
¨ 令
¤ 求此phasors 之相關函數。
¤ 與 sinusoids之自相關函數。
解： Correlation of phasors and sinusoids
¨ 互相關函數
¨ 自相關函數
¨ 若只為sinusoids
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¨ 訊號能量定義
¨ 互相關定義
¤ 注意積分之上下限(能量與功率訊號不同)
¤ 其餘定義
¤ 摺積之定義
¤ 因此
¨ 自相關與頻譜密度關係
¨ 互相關與頻譜密度關係
¨ 頻域之Schwarz’s inequality
相關函數
¨ 訊號之自相關與互相關可應用於
¤ 圖訊識別(Pattern Recognition)
¤ 訊號偵測
¤ 解調變
¤ 匹配濾波器
¤ 訊號之頻譜密度：訊號相關函數之FT為其頻譜密度函數。
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¨ 若H(f)為濾波系統轉移函數則輸出功率頻譜
¨ 若濾波器頻寬很小，且等增益(1)
Interpretation of spectral density functions
Spectral Density Functions
¨ 所以自相關函數為功率密度頻譜之反富氏轉換
¨ 功率密度頻譜與頻譜關係
¨ 若為週期訊號
¤ 則功率頻譜密度
範例：
¨ 假設訊號
¨ 系統轉移函數為
¨ 求：
¤ X(t)之能量頻譜密度？
¤ 輸出之頻譜密度？
¤ X(t)與輸出之能量？
¤ 輸出y(t)？
解：
¨ X(t)之能量頻譜密度
¨ 輸出之頻譜密度
¨ X(t)與輸出之能量
¨ 輸出y(t)
IFTà
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¨ 如圖之濾波器
¨ 求
¤ 脈衝響應？
¤ 轉移函數？
¨ ANS：
¤ 脈衝響應
¤ 轉移函數
¨ 應用：Comb Filter
¨ 濾波器之功率頻譜
¨ 若輸入功率密度已知，則輸出功率密度
¨ 輸出之自相關函數
¤ 因為
¤ 所以