作者： 陳昭宏
義守大學 電子工程系
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第五章 連續波指數調變EXPONENTIAL CW MODULATION
第二節 相位與頻率調變(phase and frequency modulation)
三、 名詞整理：頻率(frequency)&相位(phase)
四、 頻寬降低(Bandwidth reduction)! ？
七、 多音頻週期調變 (Multitone and periodic Modulation)
八、 範例：FM with pulse-train modulation
第三節 傳輸頻寬與失真(Transmission
bandwidth and distortion)
一、 傳輸頻寬估測(Transmission bandwidth estimates)
三、 範例： Commercial FM bandwidth
五、
FM轉換至AM(FM-to-AM
conversion)
六、 非線性失真 (Nonlinear Distortion)
七、 理想硬式限制器或截波器(ideal hard limiter or clipper)
第四節 產生與偵測FM與PM(Generation
and detection of FM and PM)
一、 直接頻率調變與電壓控制振盪器(Direct FM and
VCOs)
二、
Switching circuit phase modulator
三、 相位調變與間接頻率調變(Phase modulators and Indirect FM)
六、 範例 Indirect FM transmitter 設計
八、 三角波頻率調變(Triangular-Wave FM)
一、
FM-to-AM conversion envelop detector
二、
Slop detection with a tuned circuit
三、
Phase shift discrimination Quadrature detector
一、 干擾弦波訊號(interfering sinusoids)
二、 解強調與預強調濾波(de-emphasis and pre-emphasis filtering)
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¨ 找出指數調變訊號之瞬間(instantance)相位與頻率。
¨ 畫出音頻FM或PM調變之線頻譜(line spectrum)與相位圖(phasor diagram)。
¨ 估測(estimate) FM或PM訊號傳輸時所需之頻寬(bandwidth)。
¨ 辨識失真(distortion)、限制(limiting)、頻率乘積在FM或PM訊號之影響。
¨ 依所需應用，設計FM產生器與偵測器。
¨ 使用相位圖分析AM、FM、PM干擾問題。
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相位調變訊號、頻率調變訊號、名詞整理：頻率&相位、頻寬降低、音頻調變、Bessel function、多音頻週期調變、範例：FM |
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¨ 相位與頻率調變(PM與FM)是一種指數型調變，非線性。
¤ 寫為指數型態
¤ 其中
¨ PM與FM訊號之瞬間相位為
¨ 因為受輸入訊號調制改變之部份為相角部份，因此又稱角調變。
以下我們將就相位調變訊號、頻率調變訊號等之定義與數學模型進行簡單之說民與討論。並整理：頻率&相位等相關之名辭。並對音頻調變、多音頻週期調變等調變訊號之性能與頻寬降低等問題進行分析討論。過程中會說明Bessel function並舉範例：FM說明。
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¨ 基本指數調變訊號型式。
¤ 其中
¤ 訊號之瞬間相位為
¨ 假設
¤ 其中x(t)為輸入訊號，ØD為相位調變係數
¤ 相位調變訊號之平均功率與輸入無關，為
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¤ 簡化為
¤ 其中x(t)為輸入訊號，fD為頻率調變係數
¤ 訊號之瞬間相位為
¨ 頻率調變訊號
¨ 平均功率與輸入無關，為
Rotating phasor representation of exponential modulation
Illustrative AM, FM, and PM waveforms
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¨ 瞬間相位Instantaneous phase
¨ 相位調變Phase modulation
¨ 相位調變係數 (變量) phase modulation index, or phase deviation
¨ 瞬間頻率Instantaneous frequency
¨ 頻率調變Frequency modulation
¨ 頻率調變係數 (變量) Frequency modulation index , or frequency deviation
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¨ 當我們將瞬間頻率之調變係數一直降低至小於訊號輸入之訊號頻寬是否可以降低傳輸訊號所需之頻寬？首先要瞭解
¤ 瞬間頻率Instantaneous frequency ：為訊號在某時間瞬間之相位變化量。
¤ 頻譜頻率spectral frequency：為訊號實際傳輸時，時域訊號所對應之頻譜。
¨ 答案是否定，無法降低頻寬。但指數調變可有較佳之雜訊抑制能力。
練習: 瞭解訊號之瞬間頻率
¨ 若FM調變訊號如AM之定義，直接以輸入訊號調制載波頻率
¨ 請說明當訊號為
¤ 瞬間頻率f(t)與訊號x(t)並無直接定義關係。
窄頻帶PM與FM(narrowband
PM and FM)
¨ 指數調變訊號表示如
¤ 以和角公式展開
¤ 其中，以泰勒展開式展開
¤ 假設
¤ 則
¤ PMàAM!!!
¨ 訊號頻帶
¤ 頻譜與AM、DSB類似
¤ 其中
¤ 因此若訊號調變相位之量很小(narrowband phase of frequency)稱窄頻帶PM與FM，可以以AM調變器實作。
範例：訊號 sinc(2Wt) 之NBPM頻譜
¨ 訊號
¤ 頻譜
¤ NBPM之調變訊號
¤ 近似為
¨ NBPM頻譜
¨ NBFM頻譜
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¨ 當輸入訊號為音頻，則調變之相位為
¤
其中調變係數(modulation index)，等於最大相位移(maximum phase
deviation)
¤
窄頻調變需
¨ 音頻調變之頻譜
¨ NBFM with tone modulation (a) Line spectrum; (b) Phasor diagram
¨ 所以調變訊號可以整理如下(類似振幅調變)
¤ 其中
¤
J(β) 為Bessel functions，nth階公式如下
¨ 將前面幾個式子代入整理得
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¨ 右圖與下圖為Bessel functions 圖
¤ 不同階數
¤ 不同β
Tone-modulated line spectra(a) FM or PM
with ƒm fixed; (b) FM with AmƒD fixed
FM phasor diagram for arbitrary b
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¨ 可以把單音頻調變訊號之結果，應用至多音頻訊號，如
¨ 得調變後訊號 (應用Bessel functions表示)
¨ 當訊號為週期訊號
多音頻週期調變之頻譜
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¨ 若有脈衝訊號為週期訊號以FM調變訊號，如下圖
¤ 則調變訊號瞬間相位為
¤ 求頻譜？
解：FM with pulse-train modulation
¨ 解：因為是週期訊號，
¤ 所以
¨ 訊號波形
¨ 調變訊號之瞬間相位
¨ 調變訊號之頻譜
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¨ 由於使用指數調變，調變訊號之頻帶無限延展，所以傳輸一完整之FM需要無限之頻寬，即使是有限頻寬之訊號!!!
¤ 但實際之FM系統為有限頻寬也運作良好。
¤ 因為在遠離中心頻帶之分量已小到可以忽略。(但會造成失真distortion)
¤ 失真包括線性與非線性，處理失真與雜訊問題，FM與PM系統有一重要元件限制器(Limiter) 。
¤ Wideband FM：寬頻帶FM，
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¨ 多寬之頻寬才足以傳輸訊號不造成失真？
¤ 由前面音頻調變分析得到頻率fm之訊號所需之頻寬與調變係數ß有關
¤ 其中
¤ 所以頻寬約
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¤ 定義deviation ration
M(β)之曲線
¨
所以指數調變所需之傳輸頻寬可以由下列之規則簡單估算。
¤ Carson’s rule
¤ 一般FM之D, 2<D<10，較佳之近似頻寬為
其中
¤ PM
n 其中
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若商用FM電台之
¤ 最大頻率移為75kHz，
¤ 訊號範圍為30Hz~15kHz，所以訊號頻寬15kHz
¨ 求所需之頻寬？
¨ 解：D=75k/15k=5>2
¤ 所以
¤ 若使用Carson’s rule
¤ 若使用單音頻分析
由此範例瞭解一般FM之商用用讀為寬頻帶FM，頻寬約為訊號頻寬之14倍。
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¨ FM或PM通過線系統可以表示為下列低通等效訊號
¤ 低通等效頻譜
¨
輸出低通等效頻譜
¤ 輸出低通等效訊號
¨ 調變訊號
¤ 其中
¨
PM
¨
FM
¤ 類似於AM之調變
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¨ 此FM轉換至AM之現象並不會造成FM與PM調變之問題，只要瞬間相位沒有延重之延遲
¤ 假如在載波頻帶之響應
¤ 若線性系統之
¤ 則輸出近似於(線性失真)
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¨ 假設訊號為
¤ 通過右下圖系統(無記憶memoryless)
¤ 輸出
¤ 展開得
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¨
FM與PM有不要之振幅雜訊， 可使用limiter or
clipper(輸出輸入轉移函數如下圖)使振幅固定。
¨ 轉移函數
¨ 輸出
¨ 可用帶通濾除其他諧波。
Hard limiter，circuit realization with Zener diodes
¨ Hard limiter之轉移函數如下
¨ 應用Zener diodes設計Hard limiter 如右圖
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¨ 非線性失真經由適當之處理可以應用於，振幅限制器、頻率乘法器。
¤ 振幅限制器：可應用於幅雜訊之濾除。
¤ 頻率乘法器(n倍頻器)：可應用於頻寬放大，或頻率合成。
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¨ 有許多概念可以產生FM與PM訊號
¤ Direct FM and VCO
¤ Phase modulation and indirect FM
¤ Triangular-wave FM
¨
FM與PM訊號 之訊號特性固定之振幅。此特性有下列好處
¤ 可使用開關元件設計
¤ 可使用較低之功率元件，並使用C級放大器。
¤ 可應用非線性失真處理克服失真問題並應用。
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¨ 直接頻率調變是使用電壓控制振盪器以輸入訊號控制振盪器。
¨ VCO對應之振盪輸出相位
¤ 使用之條件限制, Cx(t)對應之相位變化要足夠慢
VCO circuit with varactor diode for variable reactance
Schematic diagram of IC VCO directed FM generator utilizing the motorla MC1376
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¨ 電路圖如
¨ 訊號波形
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¨
窄頻PM可用AM近似
¨ 再以窄頻PM，設計間接FM調變
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¨
使用PM產生窄頻FM再以n倍頻器使FM頻帶至適當之頻寬
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¨ 可使用n倍頻器將訊號頻寬放大
¨ 應用上圖
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¨ 以上圖設計FM
假設避免失真
¤ 需要之
¤ 求倍頻器要幾倍
¨ 解：
需要移頻，由1000MHz移至發射頻帶
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為
¨ 所以需要
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¨ 輸入訊號與瞬間相位之轉移函數如下
¤ 時間函數
¤ 調變系統
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FM-to-AM conversion envelop detector、Slop detection with a tuned circuit、Phase shift discrimination detector、zero-crossing detection |
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¨ 頻率偵測(frequency detector)一般稱鑑別器(discriminator)
¨ 使用下列運算策略：
¤ FM-to-AM conversion à envelope detector
¤ Phase shift discrimination Quadrature detector à Foster-seely discriminator， ratio detector
¤ frequency feedback
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¨ 方塊圖
¨ 各節點訊號波形
¤ 輸入訊號
¤ 微分器輸出
¤ 偵測器輸出
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¨ 應用調諧電路設計頻頻譜斜率偵測器，
¤ 調諧電路轉移函數如下
¤ 兩調諧電路組成之轉移函數
¤ 兩調諧電路組成之實際電路
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¨ 方塊圖如下
¨ Phase-shift network後之乘法輸出
¤ 若通過低通濾波器
¤ 若相位變動很小可近似
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¨ 方塊圖
¤ 適用於
¤ Limiter輸出波形
¤ 使用時需
¤ 積分器輸出
¤ DC block後
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¨
干擾是通訊系統中，載有資訊之訊號被其他相似之訊號(一般為人為訊號)影響。
¤ 一般是在同頻帶之多個訊號被接收到。
¤ 也可能是同一訊號源之多重傳輸路徑干擾。
¤ 或傳輸線間之藕合現象。
¨ 有些干擾問題可以預強調濾波器(deemphasis filtering)降低影響。
¨ FM解調時當兩FM訊號以相近之振幅會產生capture effect。
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¨ FM之接收訊號
¤ 其中干擾
¤ 定義
¤ 接收到被干擾之FM之振幅
¤ 接收到被干擾之相位
¨ Phasor diagram of interfering carriers
¤ 載波被干擾之相位圖。
¨ 所以干擾訊號會造成
¤ 振幅失真
¤ 相位失真
¨ 經由解調，偵測器後
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¨ 一般解調FM訊號時，在較大之瞬間頻率會有較大之干擾，
¤ 因此可透過預強調濾波提高高頻訊號之能量。
¤ 再用解強調濾波還原。
¤ 兩者間互為倒數
¨ FM with deemphasis
¤ FM訊號在高頻有較大之雜訊，因此訊號先預放大，接收後再解強調。
¨ 一般之預強調濾波為一階高通
¨ 一般之解強調濾波為一階低通
¨ 預強調濾波為一階高通
¨ 解強調濾波為一階低通
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¨ 當兩相近頻帶之FM調變訊號若振幅相近，將捕捉到訊號略大之訊號，偵測輸出，如
¤ 其中